I wrote my thesis in LaTeX using the book class. The problem I'm facing is that in the PDF output I get extra white space between paragraphs. I think this is in order to distribute uniformly the text in the page, but it looks very bad.
I tried to provide a minimal working example, but since the problem is very content-dependent I had to include most of my stylesheet and the Introduction to the thesis to be able to reproduce the problem (not every package in the example might be useful, I just wanted to be sure nothing was missing). Sorry about that.
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\chapter*{Introduzione}
Il titolo di questa tesi, ``Definibilità e nozioni semantiche in Tarski'', contiene i due poli principali entro i quali ci muoveremo nelle prossime pagine: nostro intento sarà quello di analizzare da un punto di vista sia storico sia strettamente logico alcuni testi di Alfred Tarski, «un matematico (come del resto un logico, e forse una qualche sorta di filosofo)». La scelta dei testi è stata fatta a partire dal problema della definibilità come affrontato da Tarski, per comprendere ovviamente i loro contenuti, ma soprattutto le motivazioni e i problemi che hanno portato il loro autore a porre così grande enfasi, in tutta la sua produzione logica e matematica, sulla questione della definibilità. La tesi principale è infatti che le questioni di definibilità e le diverse prospettive con cui vengono affrontate sono fondamentali ma soprattutto illuminanti ai fini della comprensione dell'approccio tarskiano alla semantica, in buona parte perché è proprio in esse che si rintracciano le basi per i risultati più noti di Tarski, quelli appunto sulla semantica e sulla teoria dei modelli.
Una precisazione prima di tutto: non è nostra intenzione proporre una panoramica completa sul tema della definibilità in generale (l'argomento non potrebbe certamente rientrare in queste poche pagine); cercheremo invece di concentrarci sulle nozioni e i problemi che più sono rilevanti per avvicinarsi in modo consapevole e storicamente corretto ai lavori di Tarski. Per questo motivo abbiamo deciso di dedicare il capitolo 1 all'introduzione dei concetti definizione e di definibilità, unitamente all'esposizione di alcuni problemi e risultati ad esse relativi, cercando il giusto equilibrio tra due prospettive: da un lato abbiamo seguito alcune tappe dell'evoluzione di problemi e metodi relativi alla definibilità, partendo da Aristotele e passando (tra gli altri) per Pascal, per i postulazionisti americani di inizio '900 e soprattutto per Peano e la sua scuola; dall'altro proponiamo ove necessario chiarificazioni di ordine concettuale anche da un punto di vista logico moderno, per permettere (a) di comprendere quali siano gli strumenti che Tarski aveva a disposizione trattando la definibilità e (b) mostrare come problemi, metodi e nozioni abbiano una \emph{storia}, che comincia con la loro formulazione tramite i mezzi e le prospettive disponibili al tempo e che, per alcuni di essi, arriva fino a noi con la loro formulazione attuale.
Un esempio: il metodo di Padoa, uno degli argomenti che attraverserà tutto il nostro lavoro, sarà enunciato prima con le parole di Padoa medesimo e successivamente, ai fini di una sua migliore comprensione, in termini ``moderni'', per poi nei capitoli successivi vedere come questo metodo abbia portato ad ulteriori risultati, come quelli dello stesso Tarski e più tardi di Beth.
Nel capitolo 2 proponiamo innanzitutto alcune linee guida generali per quanto riguarda le prospettive di Tarski sulla definibilità e introduciamo lo sfondo logico in cui nelle analisi successive ci muoveremo, la teoria dei tipi semplici. Dedicheremo poi il resto del capitolo ad uno degli approcci alla definibilità che possiamo individuare nei testi tarskiani, ovvero quel metodo che traduce le definizioni metamatematiche, la cui adeguatezza viene assunta intuitivamente, in definizioni formulate unicamente in termini matematici, per mostrare infine la loro corrispondenza alla nozione intuitiva metamatematica. Vedremo poi come i risultati proposti sugli insiemi definibili di numeri reali si prestino ad una interpretazione geometrica.
Segue poi, nel capitolo 3, l'analisi del secondo metodo che abbiamo individuato negli studi di Tarski sul nostro tema, che consiste sinteticamente nello studio metamatematico della semantica delle teorie all'interno della teoria dei tipi. Il capitolo proporrà quindi fin da subito gli strumenti per trattare la semantica nella teoria dei tipi semplici (le nozioni di interpretazione, di modello e di isomorfismo \emph{in primis}) per analizzare poi come questo secondo approccio viene applicato. Ancora una volta saranno centrali gli esempi geometrici, relativamente ai quali saranno introdotti alcuni risultati ottenuti da Tarski. In conclusione, si vedrà come gli strumenti introdotti permettano a Tarski di studiare metamatematicamente i limiti dei linguaggi, nello specifico rispondendo alle domande ``che cosa possiamo definire nella teoria dei tipi semplici?'' e ``che cosa possiamo definire in particolari teorie formulate entro la teoria dei tipi semplici?''.
La parte centrale di questo lavoro si conclude con il capitolo 4, in cui cercheremo di inserire quanto abbiamo detto nei capitoli 2 e 3 all'interno del corretto contesto storico, andando ad analizzare ulteriori testi e mostrando le conseguenze di quelli che abbiamo trattato all'interno della produzione di Tarski (ma non solo nella sua). In questo capitolo terremo una linea argomentativa più libera rispetto ai primi tre capitoli, principalmente per via della ricchezza di spunti che dalle analisi precedenti possiamo trarre. Ancora una volta avremo l'occasione di parlare di geometria, analizzando più nel dettaglio gli importanti risultati di Tarski in questa disciplina e le loro implicazioni sia sul piano logico sia su quello matematico. Quanto detto in questo quarto e ultimo capitolo ci porterà poi ad allargare lo sguardo fino a considerare una questione centrale per la filosofia della matematica, ovvero il problema di capire che cosa sia specificatamente \emph{logico} e che cosa sia invece \emph{matematico}.
Nella conclusione non tireremo le fila dei discorsi precedenti (abbiamo preferito farlo invece con una maggiore estensione nel capitolo 4), ma tenteremo invece di dare il senso che un'analisi storica e logica come quella che presentiamo dovrebbe, a nostro avviso, avere: cercheremo in sostanza di spiegare l'importanza della prospettiva storica per una migliore comprensione degli sviluppi attuali dei temi trattati.
\end{document}
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