Could someone help me with setting up a theorem and proof and make it look nice. I have that following code:
Code: Select all
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel} % danske overskrifter
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\newtheorem{startthe}{Sætning}
\newtheorem{cor}{Korollar}
\newtheorem{defn}{Definition}
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tikz}
\usepackage{color}
\usepackage{arcs}
\newenvironment{proof}[1][Bevis 1]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}
\begin{startthe}
Idet $k_{n}$ betegner sidelængden i den omskrevne $n$-kant i enhedsvirklen, så gælder at:
$k_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-k_{n}^{2}}}$
\end{startthe}
\begin{proof}
Lad os tage udgangspunkt i figur 2. Det ses, at $\angle A$ er ret, fordi den spænder over buen $EAD$. Projiceres punkt $A$ ned på $|AE|$ ses, at $\angle D$ også bliver ret. Idet $\angle B$ indgår i $\triangle ADB$ og $\triangle BAE$ så kan disse to treknater siges at være ensvinklede. Dette betyder, at vi kan multiplicere den ene trekants sidelængder med en faktor og få den anden trekants sidelængder, dvs:
\begin{alignat*}{2}
\frac{AB}{BD}&=\frac{BE}{AB} \qquad &\Leftrightarrow \\
AB^{2}&=BE\cdot BD \qquad &\Leftrightarrow \\
AB&=\sqrt{BE\cdot BD} \qquad &\Leftrightarrow \\
k_{2n}&=\sqrt{2\cdot BD}
\end{alignat*}
\noindent Idet det ses, at $BD=1-OD$, kan vi anvende pythagoras' sætning på $\triangle DOA$ og finde et udtryk for $BD$. Vi får:
\begin{align*}
BD=1-\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=1-\sqrt{1-\left( \frac{1}{2}k_{n} \right)^{2}}
\end{align*}
\noindent Indsættes denne værdi i udtrykkket for $k_{2n}$ fås:
\begin{align*}
k_{2n}&=\sqrt{2\cdot \left( 1-\sqrt{1-\left( \frac{1}{2}k_{n} \right)^{2}} \right)} \\
&=\sqrt{\left( 2-2\sqrt{1- \frac{1}{4}k_{n}^{2}} \right)} \\
&=\sqrt{\left( 2-\sqrt{4}\sqrt{1- \frac{1}{4}k_{n}^{2}} \right)} \\
&=\sqrt{\left( 2-\sqrt{4- k_{n}^{2}} \right)}
\end{align*}
\end{proof}
Så var der Pythagoras som mange af os i dag kender, var fra Grækenland. Han var fra øen Samos tæt på kysten af området som vi i dag kalder Tyrkiet. Han bosatte sig i en lille græsk by, et sted i det sydlige Italien. Pythagoras i hans tid, var ledsaget af en gruppe disciple, og det var nemlig denne lille gruppe som senere blev kaldt Pythagoræerne. Det var et meget religiøst og filosofisk minisamfund. Så samfundet i Pythagoræernes tidspunkt var ikke kun præget af matematik, men det man også beskæftigede sig med var blandt andet filosofi og politik. Dette skyldes, at Grækerne gerne ville vedligeholde deres samfund, så der kom et sammenspil mellem naturvidenskab, religion og politik. Som også nævnt før levede de i et kollektiv, hvor man delte både viden og ejendom med hinanden. Men til gengæld hemmeligholdte de deres viden for den øvrige verden, og det er en af grundene til at vi ikke ved så meget om pythagoræerne. Set på den anden siden, hvor de andre store græske lærde såsom Archimedes osv var ikke tilbageholdende i deres fortælling og metoder. Selvom man ikke ved så meget om pythagoræerne, så er de stadigvæk vigtige figurere indenfor opfindelsen af den Pythagoræiske læresætning, som Pythagoras havde opfundet. Det var hans kendte sætning om den retvinklede trekant, altså at kvadratet af de 2 kateter a og b ( de korte sider) er lig med kvadratet af hypotenusen c, altså den lange side. Den er kendetegnet med formlen $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Nogle af disse mænd som jeg har nævnt vil jeg også fortælle lidt mere om senere. \newline
Noget af det mest fundamentale indenfor matematik, er det matematiske bevis, som er et bidrag fra det antikke Grækenland. Mange tidligere civilisationer havde udviklet matematiske sprog på højt niveau, men kun i form af mere eller mindre veludviklede tilnærmelser til bl.a. løsninger samt bestemte problemer. I Grækenland fik man nok af denne arbejdsmetode, numeriske løsninger på problemer var ikke dækkende, og man ønskede derimod beviser. De første tegn på matematiske beviser kommer fra Euklid, i hans værk \textit{Elementerne}. Her fremgår en logisk form for matematik, i form af definitioner samt aksiomer, og ud fra dette bliver alle de matematiske påstande bevist. Euklids værk har haft enorm betydning for matematikken, groft sagt, fra tidernes morgen helt frem til vor tid i dag.
1)change the italic script to normal in "sætning"
2)make a grey box around the theorem, which has a length equal to the ordinary text appearing in the document
3)Make the font of "sætning" (theorem) and "bevis" (proof) the same
4)Have the equation in "Bevis" appear in a new line and centered but not too far down
Sorry for all the points but I hope someone can assist me.
Thanks