LaTeX forum ⇒ Generalhi guy,i have a question,please help me!

LaTeX specific issues not fitting into one of the other forums of this category.
handsome09
Posts: 1
Joined: Tue Jun 05, 2018 3:48 am

hi guy,i have a question,please help me!

Postby handsome09 » Tue Jun 05, 2018 4:02 am

ROKA SANDERS

PARTIAL WORK

\ex{900.}{3} Mutassuk meg, hogy $\frac1{51} + \frac1{52} + \frac1{53} +
... + \frac1{200} > 1$.

\ex{901.}{3} Mutassuk meg, hogy $1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + ... +
\frac1{64} > 4$.

\ex{902.}{3} Mutassuk meg, hogy $1 < \frac15 + \frac16 + \frac17 + ... +
\frac1{17} < 2$.

\ex{903.}{4} Mutassuk meg, hogy $1 + \frac1{1!} + \frac1{2!} + \frac1{3!}
+ ... + \frac1{n!} < 3$.

\ex{904.}{4} Mutassuk meg, hogy $1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} +
\frac1{4^2} + ... + \frac1{n^2} < 2$.

\ex{905.}{3} Mutassuk meg, hogy $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}<3.$

\ex{906.}{3} Mutassuk meg, hogy

$\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12}}}+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20}}}
+\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30}}}<15.$


\ex{907.}{4} Bizonyítsuk be, hogy
$\sqrt{100+\sqrt{99+\sqrt{98+...+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}}<11$.
% 95/150. old, F.3028.

\ex{908.}{4} Bizonyítsuk be, hogy
$\sqrt{1+\sqrt{n+\sqrt{n^2+\sqrt{n^3+...+\sqrt{n^n}}}}}<n$ \quad ($n>1$).
% 84/157. old, F.2436.

\ex{909.}{5} Bizonyítsuk be, hogy
$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n}}}}<\displaystyle{\frac95}$.
% 76/4. old, F.1967.

\ex{910.}{7} Mutassuk meg, hogy
$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...sqrt{n}}}}}<3$, ahol $n=2$, 3, 4, ...


\ex{911.}{3} Mutassuk meg, hogy ha $a$ és $b$ pozitív számok, akkor

$$\frac{a+b}{1+a+b} \le \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b}.$$

\ex{912.}{3} Legyen $a > b > c$. Mutassuk meg, hogy $\frac1{a-b} +
\frac1{b-c} + \frac1{c-a} > 0$.

\ex{913.}{3} Legyen $a_1 \le a_2 \le ... \le a_{10}$. Mutassuk meg, hogy

$$\frac{a_1+a_2+...+a_6}6\le\frac{a_1+a_2+...+a_{10}}{10}.$$

\ex{914.}{4} Legyen $a > b > c$. Mutassuk meg, hogy

$$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) > 0.$$

\ex{915.}{4} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $a$ és $b$ pozitív
valós számokra teljesül az



$$a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$$ egyenlőtlenség.

\ex{916.}{4} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $a$ és $b$ valós
számokra teljesül az



$$a^4 + b^4 \ge ab(a^2 + b^2)$$ egyenlőtlenség.

\ex{917.}{4} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $a$ és $b$ pozitív
valós számokra teljesül az

$$a^2 + b^2 \le \frac{a^3}b + \frac{b^3}a$$
egyenlőtlenség.


\ex{918.}{4} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $a$ és $b$
valós számokra teljesül az

$$\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2} \le \frac{a^3+b^3}{2}$$
egyenlőtlenség.

\ex{919.}{4} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $a$ és $b$
valós számokra teljesül az

$$\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2} \le \frac{a^4+b^4}{2}$$
egyenlőtlenség.

\ex{920.}{4} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $a$ és $b$
valós számokra teljesül az

$$\frac{a+b}2\cdot\frac{a^2+b^2}2\cdot\frac{a^3+b^3}2\le\frac{a^6+b^6}2$$
egyenlőtlenség.


\ex{921.}{4}\footnote{A {\bf 921--933.} feladatokban $x$,
$y$, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ tetszőleges valós számokat jelent, ahol a
kifejezés értelmezhető.} Határozzuk meg a következő kifejezések
minimumát.
\smallskip
(a) $x^2 + y^2 +2x - 4y + 6$,
(b) $x^6 + 2x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x - 1$,
(c) $2x^2 - 8xy + 17y^2 - 16x - 4y + 2062.$


Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenségeket. (922--933. feladatok)

\ex{922.}{3} $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$.


\ex{923.}{4} $a^2 + b^2 + c^2 + \frac3{4} \ge a+b+c$.

\ex{924.}{4} $a^4 + b^4 + 2 \ge 4ab$.

\ex{925.}{4} $a^4 + 1 > a$.

\ex{926.}{4} $a^2 + b^2 + 1 \ge ab + a + b$.

\ex{927.}{4} $\frac{a^2}4 + b^2 + c^2 \ge ab - ac + 2bc$.

\ex{928.}{4} $a^2 + b^2 + c^2 + 4 \ge ab + 3b + 2c$.

\ex{929.}{4} $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge ab + ac + ad$.

\ex{930.}{4} $a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-d+\frac25\ge0$.

\ex{931.}{4} $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a(b+c+d+e).$

\ex{932.}{6} $\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \ge
\frac cb + \frac ba + \frac ac$, ahol $abc\ne 0$.

\ex{933.}{6} $\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}+\frac ab+\frac ba \ge
\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2$, ahol $a>0$, $b>0$.






A számtani és mértani közepek közötti

\smallskip

$\displaystyle\frac{a_1+a_2+... +a_n}n\ge\root n\of{a_1\cdot
a_2\cdot...cdot a_n} a_1\ge0,\,a_2\ge0,\,...,\,a_n\ge0$

\smallskip

egyenlőtlenség segítségével igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket.
Az egyenlőtlenségekben szereplő számok mindegyike pozitív.
(934--996. feladatok)

\ex{934.}{3}
(a) $a + \frac1a \ge 2$,

(b) $\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \ge 2$,

(c) $\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}} > 2$,

(d) $a^2 + \frac1{a^2+1} \ge 1$,

(e) $\frac{a+b}c + \frac{b+c}a + \frac{c+a}b \ge 6$,

(f) $\frac ab + \frac bc + \frac ca \ge 3$.


\ex{935.}{4} $\frac1a+\frac1b+\frac4c+\frac{16}d\ge\frac{64}{a+b+c+d}$.
% 749. után


\ex{936.}{3} $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$.

\ex{937.}{3} $(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge 16abc$.

\ex{938.}{4} $\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le
\frac{a+b+c}2$.



\ex{939.}{4} $(a^2 + b^2)c + (b^2 + c^2)a + (c^2 + a^2)b \ge 6abc$.

\ex{940.}{4} $ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) \ge 6abc$.

\ex{941.}{4} $a^2(1 + b^2) + b^2(1 + c^2) + c^2(1 + a^2) \ge 6abc$.

\ex{942.}{4} $(a + b + c)(ab + bc + ca) \ge 9abc$.

\ex{943.}{4} $\frac{ab}c + \frac{bc}a + \frac{ca}b \ge a + b + c$.

\ex{944.}{4} $abc \ge (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)$.

\ex{945.}{4} $a\sqrt{a^2 + c^2} + b\sqrt{b^2 + c^2} \le a^2 + b^2 + c^2$.

\ex{946.}{3} $(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)(d^2+d+1) \ge81abcd$.

\ex{947.}{4} $ab + bc + ca \ge a\sqrt{bc} + b\sqrt{ca} + c\sqrt{ab}$.

\ex{948.}{4} $a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$.

\ex{949.}{4} $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}
>2$.


\ex{950.}{4} $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32$.

\ex{951.}{4} $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge
\frac{a+b+c}2$.

\ex{952.}{4} $a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}
\le\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}$.


\ex{953.}{4} $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$.

\ex{954.}{4} $(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 \ge abc(a+b+c)$.

\ex{955.}{4} $(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c)$.

\ex{956.}{4} $3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$.

\ex{957.}{4} $ab^5+bc^5+ca^5\ge abc(a^2b+b^2c+c^2a)$.

\ex{958.}{4} $a^4 + b^4 + c^4 \ge abc(a+b+c)$.


\ex{959.}{4} $a^4+b^4+8\ge 8ab$.
%%$a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$.
% 769. után

\ex{960.}{4} $a^6+b^6+c^6\ge a^5b+b^5c+c^5a$.
% 769. után

\ex{961.}{4} $a^7+b^7+c^7\ge a^2b^2c^2(a+b+c)$.
% 769. után

\ex{962.}{4} $a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2(ab+bc+ca)$.
% 769. után

\ex{963.}{4} $a^3b + b^3c + c^3a \ge abc(a+b+c)$.

\ex{964.}{4} $(a+b)\sqrt{c} + (b+c)\sqrt{a} + (c+a)\sqrt{b} \ge 6\sqrt{abc}$.

\ex{965.}{4} $(a^2+b^2)(a^4+b^4) \ge (a^3+b^3)^2$.

\ex{966.}{4} $\Bigl(a + \frac{b}{ac}\Bigr)\Bigl(b + \frac{c}{ba}\Bigr)
\Bigl(c + \frac{a}{cb}\Bigr) \ge 8$.

\ex{967.}{4} $(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2) \ge 9abc$.

\ex{968.}{4} $\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}+\frac{2}{a+b}\ge\frac{9}{a+b+c}$.

\ex{969.}{4} $\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\le
\frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.


\ex{970.}{4} $ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) \le 2(a^3 + b^3 + c^3)$.

\ex{971.}{4} $c^2(a + b) + a^2(b + c) + b^2(c + a) \le 2(a^3 + b^3 + c^3)$.

\ex{972.}{4} $(a+b+c)(ab+bc+ca)\le 3(a^3 + b^3 + c^3)$.

\ex{973.}{4} $(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2)\le 3(a^3 + b^3 + c^3)$.

\ex{974.}{4} $a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$.

\ex{975.}{4} ${a^2\over b} + {b^2\over c} + {c^2\over a} \ge a+b+c$.
%$3(a+b)(b+c)(c+a)\le 8(a^3 + b^3 + c^3)$.

\ex{976.}{4} $a^2cd +b^2da + c^2ab + d^2bc \ge 4abcd$.


\ex{977.}{4} $\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{b^3+c^3+d^3}{b+c+d}+
\frac{c^3+d^3+a^3}{c+d+a}+\frac{d^3+a^3+b^3}{d+a+b}\ge a^2+b^2+c^2+d^2.$


\ex{978.}{4} $8(a^3+b^3+c^3)\ge3(a+b)(b+c)(c+a)$.


\ex{979.}{4} $\sqrt{2a + 1} + \sqrt{2b + 1} + \sqrt{2c + 1} < 4$, ha $a +
b + c = 1$.

\ex{980.}{4} $\sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} < 5$, ha $a +
b + c = 1$.

\ex{981.}{4} $\sqrt{6a + 1} + \sqrt{6b + 1} + \sqrt{6c + 1} < 9$, ha $a +
b + c = 2$.

\ex{982.}{4} $\Bigl(1 + \frac1{a}\Bigr)\Bigl(1 + \frac1{b}\Bigr)
\Bigl(1 + \frac1{c}\Bigr) \ge 64$, ha $a+b+c=1$.

\ex{983.}{4} $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} < 2$, ha $a+b+c=1$.

\ex{984.}{4} $\sqrt{a+1} + \sqrt{2a-3} + \sqrt{50-3a} < 12$,
ha $\frac3{2} \le a \le \frac{50}{3}$.

\ex{985.}{4} $a^2 + b^2 + c^2 \ge 14$, ha $a+2b+3c \ge 14$.

\ex{986.}{4} $\log_{30}^2 2 + \log_{30}^2 3 + \log_{30}^2 5 > \frac1{3}$.

\ex{987.}{4} $\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$.

\ex{988.}{3} $a+b+c \ge 3$, ha $abc = 1$.

\ex{989.}{3} $a^2+b^2+c^2\ge\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}$, ha $abc=1$.

\ex{990.}{4} $a^4 + b^4 + c^4 \ge a+b+c$, ha $abc=1$.

\ex{991.}{4} $ab + bc + ca \ge \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$, ha $abc=1$.

\ex{992.}{4} $\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$,
ha $abc=1$.

\ex{993.}{4} $(a+2b)(b+2c)(c+2a) \ge 27$, ha $abc=1$.

\ex{994.}{4} $(a+1)(b+1)(c+1) \ge 8$, ha $abc=1$.

\ex{995.}{4} $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + bc + cd + ac + bd + ad \ge 10$,
ha $abcd = 1$.

\ex{996.}{4} $(1 + a_1)\cdot(1 + a_2)\cdot...cdot(1 + a_n) \ge 2^n$, ha
$a_1\cdot a_2\cdot...cdot a_n = 1$.

\ex{997.}{4} $p$ és $q$ olyan pozitív valós számok, amelyek
reciprokainak összege 1.

\smallskip

Igazoljuk, hogy $\frac13\le\frac1{p(p+1)}+
\frac1{q(q+1)}<\frac12$ és $1\le\frac1{p(p-1)}+\frac1{q(q-1)}$.



\ex{998.}{4} Egy egységoldalú négyzetben $n$ db kis négyzetet helyeztünk el
úgy, hogy semelyik kettőnek nincs közös belső pontja. Igazoljuk, hogy
a négyzetek oldalhosszúságának összege legföljebb $\sqrt{n}$.

\ex{999.}{4} Egy egységnyi élű kockában $n$ db kis kockát helyeztünk el
úgy, hogy semelyik kettőnek nincs közös belső pontja. Igazoljuk, hogy
a kockák élének összege legfeljebb $n^{2/3}$.

\ex{1000.}{4} Mutassuk meg, hogy ha $a > b$ és $ab = 1$, akkor
$\frac{a^2+b^2}{a-b} \ge 2\sqrt2$.


\ex{1001.}{3} Legyen $a>0$, $b>0$. Mutassuk meg, hogy
$\frac{a^2-b^2}{a-b}>\frac{a^2+b^2}{a+b}$.


\ex{1002.}{3}Bizonyítsuk be a következő egyenlőtlenségeket.
(a) $\frac1{\log_2\pi} + \frac1{\log_\pi2} > 2$,
(b) $\frac1{\log_2\pi} + \frac1{\log_5\pi} > 2$.

\ex{1003.}{4} Mutassuk meg, hogy $\log_45 + \log_56 + \log_67 + \log_78 >
\hbox{4,4}$.



\ex{1004.}{3} Mutassuk meg, hogy $\sin40^{\circ}+\cos40^{\circ}>1$.

\ex{1005.}{3} Mutassuk meg, hogy $\sqrt{\sin40^{\circ}}+\sqrt{\cos40^{\circ}}>1$.


\ex{1006.}{4} Mutassuk meg, hogy $n! \le {\left(\frac{n+1}2\right)}^n$,
$n\in\Bbb N$.

\ex{1007.}{4} Mutassuk meg, hogy ha $a\ge0$, $b\ge0$, $n\in\Bbb N$, akkor
$\frac{a+bn}{n+1}\ge \root{n+1}\of{a\cdot b^n}$.

\ex{1008.}{5} Mutassuk meg, hogy ${\left(1 + \frac1n\right)}^n <
{\left(1 + \frac1{n+1}\right)}^{n+1}$, $n\ge1$, $n\in\Bbb N$.

\ex{1009.}{5} Mutassuk meg, hogy ${\left(1 + \frac1n\right)}^n < 4$, $n\ge1$,
$n\in\Bbb N$.

\ex{1010.}{5} Mutassuk meg, hogy a pozitív $a$, $b$ számokra mindig
teljesül a

$$2\sqrt a + 3\root3\of b \ge 5\root5\of{ab}$$ egyenlőtlenség.

\ex{1011.}{5} Mutassuk meg, hogy a pozitív $a$, $b$, $c$ számokra mindig
teljesül az
$$\frac ab + \sqrt{\frac bc} + \sqrt[3]{c\over a}>2$$
egyenlőtlenség.

\ex{1012.}{5} Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan pozitív $a$, $b$, $c$ számok,
melyek egyszerre kielégítenék az alábbi egyenlőtlenségeket:

$$a(1-b) > \frac14, b(1-c) > \frac14, c(1-a) >\frac14.$$

\ex{1013.}{5} Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan pozitív $a$, $b$, $c$ számok,
melyek egyszerre kielégítenék az alábbi egyenlőtlenségeket:

$$a+\frac1{b}<2, b+\frac1{c}<2, c+\frac1{a}< 2.$$

\ex{1014.}{5} $x > 0$ értékekre határozzuk meg a következő függvények legkisebb
értékét.

\smallskip%
(a) $f(x) = x + \frac ax$, $a > 0$,
"

User avatar
Stefan Kottwitz
Site Admin
Posts: 9151
Joined: Mon Mar 10, 2008 9:44 pm

Postby Stefan Kottwitz » Tue Jun 05, 2018 8:58 am

Hi,

welcome to the forum!

We all speak English here. Please post in English.

Thanks,

Stefan
Site admin


Return to “General”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 8 guests