General ⇒ Blank page before the first page

[nikolamilevski]

Hello,

When I produce pdf file I get blank page before my first intended page. I don't know how to get rid of this blank page. Any help will be highly appreciated. I post my files as attachment.

Sincerely,
Nikola

[Johannes_B]

Hi, im commenting on your code a little bit. You'll get an answer in about half an hour.

Code: Select all

file Poročilo.tex
Poročilo.tex: LaTeX 2e document, UTF-8 Unicode (with BOM) text, with very long lines, with CRLF line terminators

The BOM is confusing LaTeX, safe it without and everything will be fine.

Code: Select all

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc} %input encoding; lahko je tudi [cp1250] ali [latin2]
\usepackage[slovene,english]{babel}
\usepackage{color}
%JB:
\usepackage{physics}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{parskip}%not setting it manually
%JB:
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
%JB: \usepackage[cp1250]{inputenc}You did load inputenc before with
%JB: another option. Be sure not to confuse the program or yourself.
\usepackage[%pdftex
]{graphicx}%JB: leave out the option, it is no good
\usepackage{array}
\usepackage[a4paper]{geometry}%You already set that as a global option


\geometry{top=1.0in, bottom=1.0in, left=1in, right=1.0in}


\begin{document}


\selectlanguage{slovene}

%JB: You could set the title and name like this
\title{Projektna naloga iz matematična fizika
Keplerjev problem}
\author{Nikola Miljevski\\28030415}
%\begin{center}
%\LARGE Projektna naloga iz matematična fizika\\ 
%\Large Keplerjev problem
%
%%\vspace{2 mm}
%
%\normalsize Nikola Miljevski\\
%\normalsize 28030415
%
%\end{center}

\maketitle%And apply it
%\vspace{8 mm}


\begin{abstract}

%\vspace{4 mm}%JB: What is the reason for doing this over and over
%again? We might find a better solution

V nalogi numerično rešujem Keplerjev problem in sicer na tri načine: z metodo linearizacije, z Eulerjevo in z Runge-Kutta metodo. Na koncu primerjam vse trije metode glede na časovno zahtevost in natančnost rezultate.

\end{abstract} 

%\vspace{4 mm}

\section{Keplerjev problem}

%\vspace{4 mm}

Keplerjev problem je v splošnem problem določanja orbite in
hitrosti dveh teles med katerima deluje centralna sila ki pada z
kvadratom razdalja med njima. Zgodovinski to je bil problem
določanja Zemljine orbite ter orbite drugih planet ki se gibljejo
okoli našega Sonca. Tako sem tudi jaz v nalogi obravnaval gibanje
Zemlje okoli Sonca.
%JB: Your lines are pretty long. I recommend to shorten them, latex
%will treat a line break as a space.

%\vspace{4 mm}%JB: Are your trying to achieve a parindent? There are
%better ways

Sila ki jo čuti Zemlja v polju Sonca lahko zapišemo takole:
$\textbf{F}=-\frac{\textit{GMm}}{\textit{r}^{3}}\textbf{r}$, kjer
%JB: Why are you setting textit there? It's math after all
je $M$ masa Sonca, $m$ masa Zemlje in $r$ razdalje med njima.
Zdaj lahko zapišemo štiri enačbe s pomočjo katerih bomo znali
določiti hitrost in položaj zemlje v vsakem trenutku. Vpliv
ostalih planet na orbita Zemlje ne upoštevam, saj je majhen in
tudi za te naloge ni potreben. 

%\vspace{4 mm}

\begin{gather*}
\frac{\textit{dx}}{\textit{dt}}=\textit{v}_{x}\\
\frac{\textit{dy}}{\textit{dt}}=\textit{v}_{y}\\
\frac{\textit{dv}_{x}}{\textit{dt}}=-\frac{\textit{GM}}{\textit{r}^{3}}\textit{x}\\
\frac{\textit{dv}_{y}}{\textit{dt}}=-\frac{\textit{GM}}{\textit{r}^{3}}\textit{y}\\
%JB: i think package physics could fo you good
\end{gather*}

\begin{align*}%JB: You can align the equal signs
\dv{x}{t}&=v_{x} \\
\dv{y}{t}&=v_{y}\\
\dv{v_{x}}{t}&=-\frac{GM}{r^3}x
\end{align*}

%\vspace{4 mm}

Prve dve enačbe sledijo iz definicije hitrosti, druge dve pa iz drugega Newtonovega zakona zapisan za Zemlje. Izhodišče koordinatnega sistema je v središču Sonca.


\section{Metoda linearizacije}

Očitno naš sistem ni linearen, ker $x$ in $y$ se skrivata v $r$. Namreč, $r^{2}=x^{2}+y^{2}$. Ideja metode linearizacije je, da sistem lineariziramo okoli izbrane začetne točke po Taylorovi metodi in ga rešujemo kot linearen nehomogen sistem štirih diferencijalnih enačb. V splošnem dana funkcija $f(x,y)$ lahko razvijemo po Taylorovem principu v okolici točke $(a, b)$ do prvega reda takole: 

\begin{equation}
f(x,y)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}|_{(a,b)}(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}|_{(a,b)}(y-b)
\end{equation}


Če to naredimo za $\dot{\textit{v}}_{x}$ in $\dot{\textit{v}}_{y}$, pri čem pika pomeni odvod po času $t$, dobimo:

%\begin{equation}%No need
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\dot{\textit{x}}  \\ 
\dot{\textit{y}}  \\ 
\dot{\textit{v}}_{x}  \\
\dot{\textit{v}}_{y}  
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 \\
\frac{3\textit{GMa}^{2}}{(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})^{2.5}}-\frac{\textit{GM}}{(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})^{1.5}} & \frac{3\textit{GMab}}{(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})^{2.5}} & 0 & 0 \\
\frac{3\textit{GMab}}{(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})^{2.5}} & \frac{3\textit{GMb}^{2}}{(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})^{2.5}}-\frac{\textit{GM}}{(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})^{1.5}} & 0 & 0 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\textit{x}  \\ 
\textit{y}  \\ 
\textit{v}_{x}  \\
\textit{v}_{y}  
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 
0 \\
0 \\
\frac{3\textit{GMa}(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})}{(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})^{2.5}} \\
\frac{3\textit{GMb}(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})}{(\textit{a}^{2}+\textit{b}^{2})^{2.5}}
\end{pmatrix}
\end{align}
%\end{equation}

Zdaj naš problem je zapisan v obliki $\dot{\textbf{x}}=A\textbf{x}-\textbf{p}$. Takšne vrste sisteme znamo reševati. Posebej poiščemo rešitev homogenega dela sistema in potem še partikularna rešitev. Splošna rešitev je vsota teh dveh rešitvah.

%\vspace{4 mm}

Homogeni del našega sistema se glasi:
$\dot{\textbf{x}}=A\textbf{x}$. Izberemo nastavek
$\textbf{x}(t)=e^{rt}\textbf{u}$. Ko le to vstavimo v sistemu,
dobimo problem lastnih vektorjev in lastnih vrednostih. Dobimo da
rešitev homogenega dela se glasi:
$\textbf{x}_{h}=c_{1}e^{r_{1}t}\textbf{u}_{1}+c_{2}e^{r_{2}t}\textbf{u}_{2}+c_{3}e^{r_{3}t}\textbf{u}_{3}+c_{4}e^{r_{4}t}\textbf{u}_{4}$,
kjer so $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ realni lastni vrednosti
matrike $A$, $\textbf{u}_{1}, \textbf{u}_{2}, \textbf{u}_{3},
\textbf{u}_{4}$ pa pripadajoči lastni vektorji. Če pa za lastna
vrednost dobimo dve kompleksno konjugirani števila $\alpha\pm
i\beta$ in pripadajoči lastni vektorji $\textbf{a}\pm
i\textbf{b}$, potem dobimo naslednje dve linearno neodvisni
rešitvi: $\textbf{x}(t)=e^{\alpha t}cos (\beta t)
\textbf{a}-e^{\alpha t}%sin%JB: this is an operator, please treat
%it like that. Same goes for cos
\sin(\beta t) \textbf{b}$ in $\textbf{x}(t)=e^{\alpha t}\sin (\beta t) \textbf{a}-e^{\alpha t}cos (\beta t) \textbf{b}$.

%\vspace{4 mm}

Za partikularna rešitev izberemo nastavek $\textbf{x}_{p}=\textbf{h}$, kjer je $\textbf{h}$ nek konstantni vektor. Potem dobimo enačbo $\textbf{0}=A\textbf{h}-\textbf{p}$ in iz tega sistema dobimo $\textbf{h}$. V Matematici rešitev dobimo z ukazom . 

%\vspace{4 mm}

Zdaj imamo celotno rešitev sistema, ki je $\textbf{x}_{h}+\textbf{x}_{p}$ in tako dobimo $\textbf{x}=V(t)\textbf{c}+\textbf{h}$, kjer je $V(t)$ matrika odvisna od časa, $\textbf{c}$ pa je vektor koeficientov v rešitvi za homogeni del. Ta vektor moramo določiti numerično, z reševanjem sistema enačb: $\textbf{x}-\textbf{h}=V(t)\textbf{c}$. Ko enkrat dobimo koeficiente, v enačbi $\textbf{x}=V(t)\textbf{c}+\textbf{h}$ povečamo čas $t$ za $\Delta t$ in tako dobimo novi vrednosti za položaj in hitrost Zemlje. Zdaj začetni sistem razvijemo okoli te točke ki smo jih nazadnje dobili in postopek ponovimo do koncu. Postopek ponavlajmo poljubno dolgo. Časovni korak $\Delta t$ je tudi poljubno dolg, vendar je za pričakovati da manjši korak bo dal natančnejše rezultate. 

%\vspace{4 mm}

\section{Rezultati}

Z metodo linearizacije, Runge-Kutta in Eulerovo metodo sem
izračunal razdalje Zemlje od Sonca in velikost hitrosti Zemlje v
določenih točkah njene orbite, kot tudi minimalno razdalje Zemlje
od Sonca. Za časovni korak sem vzel 1, 10, 100 in 1000 minut,
tako da sem primerjal še natančnost pri različnih časovnih
korakih. Pri primerjavi se postavlja vprašanje, glede na katero
vrednost bomo primerjali vse trije metode, oziroma katero
vrednost bomo vzeli za "natančno", glede na katero bomo gledali
odstopanja. Tukaj se pojavljata dva premisleka. Prvo, če vsaj dve
metode pri vsaj najmanjšem časovnem koraku dajeta enake
rezultate, zelo verjetno te rezultate so najbljižje kar je možno
natančni vrednosti. Drugo, če ena metoda daje enake rezultate pri
različnih časovnih korakih, zelo verjetno te rezultate so
najbližje kar je možno natančni vrednosti. V mojem primeru obadva
pogoja sta izpolnjena. Namreč, metoda linearizacije in
Runge-Kutta dajeta rezultat za razdalje Sonce-Zemlja po %$60.000 s$ using siunitx now
\SI{60000}{\second}
od začetka štetja časa rezultat ki se razlikije samo za reda velikosti$0.1 m$. Rezultate Eulerjeve metode odstopajo za reda velikosti $1.000 km$, zato predvidevamo da rezultat ki ga dajeta metoda linearizacije in Runge-Kutta je najbližje natančni vrednosti. Od te dve metode, le Runge-Kutta daje rezultati ki so enaki do decimeter natančno ko računamo z korakom 1 minuta, s korakom 10 minuti in celo s korakom 100 minuti. Praktično se ne spreminjajo, zaradi česa sklepam da Runge-Kutta je dosegla najbolj natančne vrednosti. Zato vzamem rezultate ki jih daje Runge-Kutta s korakom 1 minuta za "natančne" in glede na njih primerjam ostopanja vseh drugih rezultatov. Te rezultate so podani v spodnji tabeli. 

\begin{table}[h]
	\centering
		\begin{tabular}{lll}%JB: careful l (ell) for left
%			aligned, not a one 
			\toprule%JB: Using booktabs here
		\textit{t} (s) & \textit{r} (m) & \textit{v} (m/s)  \\ 
		\midrule
		60.000 & 152.080.637.869,2 & 29.293,4  \\ 
		6.000.000 & 150.520.492.537,8 & 29.600,7 \\
		30.000.000 & 151.983.307.069,1 & 29.312,5 \\ 
		\bottomrule
		\hline	
		\end{tabular}
\end{table}

Rezultati za relativne napake oddaljenosti Zemlje od Sonca so prikazani na spodnje slike:

\includegraphics[scale=0.6]{1} \\
\includegraphics[scale=0.6]{2}

Pri koraku 100 min je napaka rezultate ki jih daje metoda
Runge-Kutta manjša kot %$3*10^{-13}$ %JB: siunitx
\num{3e-13} za natančnostjo s katero sem jaz računal je praktično 0, tako da se ne nahaja v ustreznem grafu. 

%\vspace{4 mm}

Očitno je da metoda Runge-Kutta je superiorna in njene rezultate so bistveno natančnejši kot druge dve metode. Metoda linearizacije daje pa natančnejši rezultati kot Eulerjeva metoda. 

%\vspace{4 mm}

Kako je pa z časovno zahtevnostjo algoritma? Na spodnjo sliko sem narisal relativne napake razdalja Sonce-Zemlja v odvisnostjo od času računanja. Jasno je da Runge-Kutta daje bistveno bolj natančne rezultate kot linearizacija, ob tem da se z linearizacijo računa skoraj trikrat dle. Se pravi, Runge-Kutta je tudi časovno superioren. Vidimo še da ima Eulerjeva metoda najmanša natančnost, res pa je da je račun trajal približno štirikrat manj kot z metodo linearizacije. Vendar sem naredil tudi račun ki je trajal približno dvakrat kot z metodo linearizacije in vseeno Eulerjeva metoda je dala rezultat z večjo relativno napako reda velikosti 1000 kot z metodo linearizacije. Se pravi, ne samo da linearizacija daje bolj natančni rezultati kot Eulerjeva metoda, ampak tudi je časovno superiorna. 

\includegraphics[scale=0.6]{3}

\section{Zaključek}

Primerjal sem metodo linearizacije, metodo Runge-Kutta in Eulerjevo metodo pri izračunu razdalja Zemlje od Sonca v določenem času. Rezultate kažejo da je metoda Runge-Kutta bistveno boljša kot metoda linearizacije (se pravi, daje bistveno bolj natančne rezultate v krajšem času računanja), metoda linearizacije pa je bistveno boljša kot Eulerjeva metoda. Zato v primeru kot je Keplejrev problem, metoda linearizacije ni dosti uporabna. 


\end{document}

[nikolamilevski]

Thank you for your reply.

I am not sure I understand what should I do.

"The BOM is confusing LaTeX, safe it without and everything will be fine."

I mean, how an I save it without?

[Johannes_B]

Copy all the text into your favourite editor, for example notepad, and »save as ...«

There should be utf8, no BOM (Byte Order Mark) mentioned.

[nikolamilevski]

This solved the problem. Thank you very much!