Thanks for help.I will use your advices.Here is all my source code maybe now you will find cause of my problems. When i comment with(%) a \pagebreak above line63 error disappear but that don't satisfied me
Code: Select all
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[leqno,fleqn]{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumerate}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{parskip}
\usepackage[a4paper, left=2.0cm, right=2.0cm, top=2.2cm, bottom=2.2cm, headsep=1.2cm]{geometry}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{hyperref}
\lhead{Metody Newtona-Cotesa}
\rhead{\today}
\lfoot{http://pl.wikipedia.org/wiki/Metody_Newtona-Cotesa}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\author{Ariel Świder}
\title{Metody Newtona-Cotesa}
\date{02 maja 2012}
\begin{document}
\textbf{\huge Metody Newtona-Cotesa}\newline
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii\newline
\newline
W analizie numerycznej \textbf{wzory Newtona-Cotesa's} są zbiorem metod numerycznych całkowania, zwanego również \textit{kwadraturą}. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.\newline
\newline
Przyjmujemy, że wartość funkcji $f$ jest znana w równo oddalonych punktach $x_{i}$,dla $i=0$,\ldots,$n$.Dla\newline
punktów oddalonych od siebie o inne odległość ma zastosowanie inna klasa wzorów, kwadratura gaussowska.\newline
\newline
Jeżeli $a=x_{0}$<$x_{1}$<$x_{2}$,\ldots$<x_{n-1}$<$x_{n}$=$b$ są \textbf{równo odległymi} węzłami interpolacji funkcji $f(x)$ (\textbf{tj.} $x_{i}$ są elementami dziedziny $f$, dla których znana jest wartość $f(x_{i})=y_{i})$, to całkę:\newline
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}f(x)dx
\end{align*}
można aproksymować całką:
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}L_(n)(x)dx
\end{align*}
gdzie $L_{n}dx$ jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a stopnia co najwyzej $n$, przybliżającym funkcje $f(x)$ w węzłach interpolacyjnych, tj.:
\begin{align*}
L_{n}(x_{0})=y(x_{0}),L_{n}(x_{1})=y(x_{1}),\ldots,L_{n}(x_{n})=y(x_{n})
\end{align*}
Niech $h_{n}=\frac{b-a}{n}$ oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.
Wprowadzając zmienną $t$ taką, że $x=a+th$ można zapisać:
\begin{align*}
L_{i}(x)=L_{n}(a+th)=\prod_{j=0\wedge j\neq i}^{n}\frac{t-j}{i-j}=g(t)
\end{align*}
Wtedy:
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b} L_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum\limits_{j=0}^{n}f(x_{i})\cdot L_{i}(x)dx=
\end{align*}
\begin{align*}
\sum\limits_{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \int\limits_{a}^{b}L_{i}(x)dx
\end{align*}
\begin{align*}
x=a+t\cdot h,
\end{align*}
\pagebreak
\begin{align*}
f(x_{i})=f(a+i\cdot h)
\end{align*}
\begin{align*}
x_{i}=a+i \cdot h \notag
\end{align*}
dla $a=x_{0} \hspace{1mm} t=0$ \newline
dla $x_{1} \hspace{1mm} t=1$\newline
\ldots \newline
dla $b=x_{n} \hspace{1mm} t=n$
\newline
\begin{align*}
dx=(x)'=1
\end{align*}
\begin{align*}
dt=(a+t \cdot h)dt=(a+t \cdot h)'=h=dt
\end{align*}
Zmieniając zmienną, oraz granice całkowania otrzymuje się:
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}L_{i}(x)dx=h \cdot \int\limits_{0}^{n}g(t)dt
\end{align*}
Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla $n+1$ równo odległych węzłów przyjmuje postać:
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}L_{n}(x)dx=\sum\limits_{i=0}^{n}f(x_{i}) \cdot\int\limits_{a}^{b}L_{i}(x=a+t \cdot h)dx=\sum\limits_{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot h \cdot\int\limits_{0}^{n}\prod_{j=0\wedge j\neq i}^{n}\frac{t-j}{i-j}dt
\end{align*}
Przyjmując za $A_{i}=h \cdot \int_{0}^{n}\prod{j=0\wedge j\neq i}^{n}\frac{t-j}{i-j}dt$(nazywane współczynikami kwadratury Newtona-Cotesa),otrzymuję się:
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}f(x)\approx\sum\limits_{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot A_{i}
\end{align*}
\newline
\begin{align*}
A_{i}=A_{n-i}
\end{align*}
Dowód:
\begin{align*}
A_{i}=h\cdot\int\limits_{0}^{n}\prod_{j=0\wedge j\neq i}^{n}\frac{t-j}{i-j}dt
\end{align*}
Niech:\linebreak
\begin{align*}
v=n-t
\end{align*}
Wtedy:\linebreak
\begin{align*}
dt=-dv
\end{align*}
\begin{align*}
A_{i}=-h\cdot\int\limits_{n}^{0}\prod_{j=0\wedge j\neq i}^{n}\frac{n-v-j}{i-j}dv=
\end{align*}
Odwrocenie granic całkowania:
\pagebreak
\begin{align*}
=h\cdot\int\limits_{0}^{n}\prod_{j=0\wedge j\neq i}^{n}\frac{n-j-v}{(n-j)-(n-i)}dv=
\end{align*}
Niech $(n-j)=v'$.
\begin{align*}
=h\cdot\int\limits_{0}^{n}\prod_{v'=0\wedge j\neq (n-i)}^{n}\frac{v'-v}{v'-(n-i)}dv=
\end{align*}
Po wyciagnieciu (-1) przed iloczyn i mianownik:
\begin{align*}
=h\cdot\int\limits_{0}^{n}\prod_{v'=0\wedge j\neq (n-i)}^{n}\frac{v-v'}{(n-i)-v'}dv=A_(n-i)
\end{align*}
Definuje sie dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:
\begin{align*}
=h\cdot\int\limits_{0}^{n}\prod_{v'=0\wedge j\neq (n-i)}^{n}\frac{v-v'}{(n-i)-v'}dv=A_(n-i)
\end{align*}
Definuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:
\begin{enumerate}
\item[$\blacksquare$]\textbf{otwarte,}które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz
\item[$\blacksquare$]\textbf{zamknięte,}wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.
\end{enumerate}
Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu n:
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\approx\sum\limits_{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})
\end{align*}
gdzie $x_{i}=h\hspace{1mm}i+x_{0}$,z $h$ (nazywanym \textbf{rozmiarem kroku}) równym ($x_{n}-x_{0}$)$/n$ oraz $w_{i}$ są \textbf{wagami}.Wagi
można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange'a.To oznacza, że tylko $x_{i}$ a nie od nie od funkcji $f$.$L_{x}$ wielomianem interpolacjiw postaci Lagrange'a dla punktów ($x_{0},f(x_{0}$),..,($x_{n},f(x_{n},f_(x_{n})$)
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\approx\int\limits_{a}^{b}L(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum\limits_{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)dx\linebreak
=\sum\limits_{i=0}^{n}\int\limits_{x_{i}-1}^{x_{i}}f(x_{i})l_{i}(x)dx=\sum\limits_{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace{\int\limits_{x_{i}-1}^{x_{i}}l_{i}(x)dx}_{w_{i}}
\end{align*}
Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu n:
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\approx\sum\limits_{i=1}^{n-1}w_{i}f(x_{i})
\end{align*}
wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.
\begin{enumerate}
\item[$\blacksquare$]Możemy skontruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu.
\item[$\blacksquare$]Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy.
\item[$\blacksquare$]W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamknietego.
\item[$\blacksquare$]Notacja $f_{i}$ oznacza $f(x_{i})$
\end{enumerate}
%______________________________________________
%______________________________________________
Wykładnik o kroku $h$ w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błedu przybliżenia.Pochodna $f$ w wyrazie błedu pokazuje który wielomian moze być scałkowany dokładnie (tzn. z błedem równym $0$. Zauważ, że pochodna $f$ w wyrazie błędu wzrasta o $2$ dla kazdego innego wzoru.
Liczba $\xi$\hspace{1mm} zwiera się.
w poniższej tabeli znajduja się wzory Newton-Cotesa typu otwartego.
%___________________________________________
%___________________________________________
Zwróc uwagę , że aby wzór dawał dobre przybliżenie, krok $h$ musi być mały, co oznacza, że przedział
całkowania [a ,b] również musi być mały, co zazwyczaj nie jest spełnione. Z tego powodu dzielimy
przedział na mniejsze podprzedziały i stosujemy metodę Newtona-Cotesa na każdym z tych
podprzedziałów a następnie dodając wyniki. Jest to \textit{metoda złożona}.
\textbf{\Large{Literatura}}\newline
\begin{enumerate}
\item[$\blacksquare$]J. i M. Jankowscy, \textit{Przegląd metod i algorytmów numerycznych.} Warszawa, \hspace{1mm}1981.(See Section 4.5)
\item[$\blacksquare$]M.Abramowitz and I.\hspace{1mm}A.Stegun, eds. \textit{Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs,\newline and Mathematical Tables}.New York:Dover,1972.(See Section 25.4)
\item[$\blacksquare$]George E.Forsythe,Micheal A.Malcolm,and Cleve B.Moler.\textit{Computer Methods for Mathematical\newline Computations}. Englewood Cliffs, NJ:Prentice-Hall, 1977(See Section 5.1)
\item[$\blacksquare$]Wiliam H.Press.Brian P.Flannery,Saul A. Teukolsky,William T. Vetterling.\textit{Numerical Recipes} in\newline C.Cambridge, UK:Cambridge University Press, 1988.(See Section 4.1)
\item[$\blacksquare$]Josef Stoer and Roland Burlisch,\textit{Introduction to Numerical Analysis}.New York:Springer-Verlag,\newline 1980.(See Section 3.1)
\end{enumerate}
\textbf{\Large{Przypisy}}\newline
\begin{enumerate}
\item[1.]$\uparrow$ Boole's Rule - from Wolfram Math World (http://mathworld.wolfram.com/BoolesRule.html)
\end{enumerate}
\textbf{\Large{Zobacz też}}\newline
\begin{enumerate}
\item[$\blacksquare$]Analiza numeryczna
\item[$\blacksquare$]Metoda numeryczna
\item[$\blacksquare$]Wzory Newtona-Cotesa\newline(http://hades.ph.tn.tudelft.nl/Internal/PHServices/Documentation/MathWorld/math/math/n/n080.htm)
\end{enumerate}
Źródło ''$http://pl.wikipedia.org/wiki/Metody_Newtona-Cotesa$''\newline
Kategoria: Metody numeryczne
\hrule
\qquad Tę stronę ostatnio zmodyfikowano 11:15, 25 wrz 2010. Tekst udostępniany na licencji Creative\newline \hspace{1mm}Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach , z możliwością obowiązywania\newline \hspace{1mm}dodatkowych ograniczeń.
Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.
\end{document}
.
lastpage